Question

2．已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点C在以D（-3，-3）为圆心，6为半径的圆上，且经过⊙D与x轴的两个交点A、B，连结AC、BC、OC．
（1）求点C的坐标和抛物线的解析式
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）连结CD并延长交AB于点E，连接BD．结合已知条件得到$B（3\sqrt{3}-3，0）$，抛物线顶点C（-3，-9），故设二次函数解析式y=a（x+3）²-9，把点B的坐标代入求得a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）作DF⊥AC，垂足为点F，连接AD．构建含30度角的Rt△ADE，由此求得∠ADC=120°．所以S_阴影=S_扇形ADC-S_△ADC．

解答 解：（1）连结CD并延长交AB于点E，连接BD．
由抛物线的对称性可知CD⊥AB，CE=DE+CD=9，
∴C（-3，-9）．
在△BDE中，DE=3，BD=6，由勾股定理可求BE=3$\sqrt{3}$，
∴$B（3\sqrt{3}-3，0）$，抛物线顶点C（-3，-9）
∴设二次函数解析式y=a（x+3）²-9，
∴27a-9=0，
∴a=$\frac{1}{3}$；

（2）作DF⊥AC，垂足为点F，连接AD．
在Rt△ADE中，∵DE=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠EAD=30°，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADC=120°．
由勾股定理可得AF=$3\sqrt{3}$，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}AC•DF$=$9\sqrt{3}$．
∵S_扇形ADC=$\frac{120}{360}π•{6^2}=12π$，
∴S_阴影=12π-$9\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二次函数综合题．解题时，要掌握待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，点的坐标与图形的性质，三角形的面积以及扇形面积的计算．利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题中已知条件来设抛物线解析式的形式：
①一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；
 ②顶点式：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；
 ③交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）．