Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．
（1）如图1，连接BE、CE，求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC于F，当∠BAC=45°时，EF=CF；请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE=∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以得出结论；
（2）由BF⊥AC，∠BAC=45°就可以求出AF=BF，在由条件证明△AEF≌△BCF就可以得出结论．

解答 证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠EAB=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠EAB=∠EAC}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；

（2）当∠BAC=45°时，EF=CF．
∵BF⊥AF，
∴∠AFB=∠CFB=90°．
∵∠BAC=45°，
∴∠ABF=45°，
∴∠ABF=∠BAC，
∴AF=BF．
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠CBF}\\{AF=BF}\\{∠AFE=∠BFC=90°}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BCF（ASA）
∴EF=CF．
故答案为：CF．

点评 本题考查了中点的性质的运用，全等三角形的判定性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．