Question

已知，AB、AC是圆O的切线，B、C是切点，BD是圆O的直径，连接AO、CD，
（1）求证：OA∥CD；
（2）过D点作AC的平行线，分别交AB、AO于E、F，若AB=BD，求tan∠BDE的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：（1）连接BC，交OA于点G，根据AB，AC为圆O的切线，利用切线长定理得到AB=AC，AO为角平分线，利用三线合一得到AG垂直于BC，利用同角的余角相等得到一对内错角角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；
（2）由DE与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AO为角平分线得到一对角相等，等量代换得到∠AFE=∠EAF，利用外角的性质得到∠BED=2∠EAF，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出tan∠EAF的值，利用二倍角的正切函数公式求出tan∠BED的值，即可确定出tan∠BDE的值．

解答：解：（1）连接BC，交OA于点G，
∵AB、AC是圆O的切线，B、C是切点，
∴AB=AC，AO为∠CAB的平分线，
∴AG⊥BC，
∴∠GOC+∠GCO=90°，
∵BD为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠GCO+∠OCD=90°，
∴∠GOC=∠OCD，
∴OA∥CD；

（2）∵DE∥AC，
∴∠AFE=∠CAF，
∵∠EAF=∠CAF，
∴∠AFE=∠EAF，
∴∠BED=2∠EAF，
∵AB=BD，O为BD的中点，
∴tan∠BAO=

1

2

，
∴tan∠BED=

2tan∠BAO

1-tan2∠BAO

=

4

3

，
则tan∠BDE=

3

4

．

点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，平行线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．