Question

4．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标
（1）当k=2时，求炮弹飞行的最大海拔高度；
（2）若炮弹飞行的最大射程为5千米时，求k的值；
（3）炮弹的最大射程为$\frac{20k}{1+{k}^{2}}$千米（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）根据k的值，然后将函数关系式化为顶点式即可解答本题；
（2）由题意可知y=0，x=5时的看的值，即为本题所求的k的值；
（3）根据函数关系式可以求得炮弹的最大射程．

解答 解：（1）当k=2时，
y=2x-$\frac{1}{20}（1+{2}^{2}）{x}^{2}$=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+2x$=$-\frac{1}{4}（x-4）^{2}+4$，
∴当x=4时，y取得最大值，此时y=4，
即当k=2时，炮弹飞行的最大海拔高度是4千米；
（2）当x=5，y=0时，
0=k×5-$\frac{1}{20}（1+{k}^{2}）×{5}^{2}$，
解得，${k}_{1}=2+\sqrt{3}$，${k}_{2}=2-\sqrt{3}$，
即k的值是$2+\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$；
（3）当y=0时，
0=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²，
解得，x₁=0，x₂=$\frac{20k}{1+{k}^{2}}$，
∴炮弹的最大射程为$\frac{20k}{1+{k}^{2}}$千米，
故答案为：$\frac{20k}{1+{k}^{2}}$．

点评 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的顶点式求函数的最值，运用数形结合的思想解答相关问题．