Question

6．如图，在平面直角坐标系中，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，△A₇A₈A₉，…，都是等边三角形，且点A₁，A₃，A₅，A₇，A₉的坐标分别为A₁（3，0），A₃（1，0），A₅（4，0），A₇（0，0），A₉（5，0），依据图形所反映的规律，则A₁₀₀的坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{51\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质可得出A₂（2，$\sqrt{3}$），A₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），A₆（2，2$\sqrt{3}$），A₈（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），…，根据点的变化找出变化规律“A_4n+2（2，$\sqrt{3}$n+$\sqrt{3}$），A_4n+4（$\frac{5}{2}$，-$\frac{（2n+3）\sqrt{3}}{2}$）（n为自然数）”，依此规律即可得出点A₁₀₀的坐标．

解答 解：观察，发现规律：A₂（2，$\sqrt{3}$），A₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），A₆（2，2$\sqrt{3}$），A₈（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），…，
∴A_4n+2（2，$\sqrt{3}$n+$\sqrt{3}$），A_4n+4（$\frac{5}{2}$，-$\frac{（2n+3）\sqrt{3}}{2}$）（n为自然数），
∵100=4×24+4，
∴A₁₀₀的坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{51\sqrt{3}}{2}$）．
故答案为：（$\frac{5}{2}$，-$\frac{51\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了等边三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出点坐标变化的规律“A_4n+2（2，$\sqrt{3}$n+$\sqrt{3}$），A_4n+4（$\frac{5}{2}$，-$\frac{（2n+3）\sqrt{3}}{2}$）（n为自然数）”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形的性质找出第三个顶点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．