Question

3．已知关于x的方程mx²-（m+3）x+3=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件的整数m的值．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式得到△=（m+3）²-4×m×3=（m-3）²，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出x₁=1，x₂=$\frac{3}{m}$，然后利用整除性即可得到m的值．

解答 （1）证明：∵m≠0，
∴方程mx²-（m+3）x+3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，
∴△=（m+3）²-4×m×3
=（m-3）²，
∵（m-3）²≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；

（2）解：∵x=$\frac{m+3±\sqrt{（m-3）^{2}}}{2m}$，
∴x₁=1，x₂=$\frac{3}{m}$，
∵方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，
∴$\frac{3}{m}$为大于1的整数，
∵m为整数，
∴m=1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．