Question

20．矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在线段BC上，F在线段BC上，且BF：FC=1：2，AF分别与DE，DB交于点M，N，则MN=（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{7}$
• B． $\frac{5\sqrt{5}}{14}$
• C． $\frac{9\sqrt{5}}{28}$
• D． $\frac{11\sqrt{5}}{28}$

Answer 1

分析 过F作FH⊥AD于H，交DE于O．根据勾股定理求出AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．由OH∥AE，得出$\frac{OH}{AE}$=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{2}{3}$，求出OH=$\frac{2}{3}$AE=$\frac{2}{3}$，则OF=FH-OH=$\frac{4}{3}$．由AE∥FO，得出△AME∽FMO，那么$\frac{AM}{FM}$=$\frac{AE}{FO}$=$\frac{1}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{4}$，得到AM=$\frac{3}{7}$AF=$\frac{3\sqrt{5}}{7}$；由AD∥DF，得出△AND∽△FNB，那么$\frac{AN}{FN}$=$\frac{AD}{BF}$=$\frac{3}{1}$，得到AN=$\frac{3}{4}$AF=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，然后根据MN=AN-AM计算即可求解．

解答 解：过F作FH⊥AD于H，交DE于O．
∵BF：FC=1：2，BC=AD=3，
∴BF=1，FC=2，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵OH∥AE，
∴$\frac{OH}{AE}$=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
∴OH=$\frac{2}{3}$AE=$\frac{2}{3}$，
∴OF=FH-OH=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$．
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴$\frac{AM}{FM}$=$\frac{AE}{FO}$=$\frac{1}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
∴AM=$\frac{3}{7}$AF=$\frac{3\sqrt{5}}{7}$；
∵AD∥DF，
∴△AND∽△FNB，
∴$\frac{AN}{FN}$=$\frac{AD}{BF}$=$\frac{3}{1}$，
∴AN=$\frac{3}{4}$AF=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
∴MN=AN-AM=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$-$\frac{3\sqrt{5}}{7}$=$\frac{9\sqrt{5}}{28}$．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．