Question

14．交通对城市的发展发挥着十分重要的作用，如图，B市位于A市的正东方向，原来从A市到B市要经过C市，C市位于A市北偏东30°方向，位于B市北偏西53°方向，A到C的距离为150千米，现从A、B之间新修了一条直达的高速公路AB．
（1）求新修高速公路AB的长度．
（2）拟定在新修高速公路边D处建一个加油站，D恰好位于C市的南偏东15°方向，问D到A市距离多远．
（注：如果运算结果有根号，请保留根号，其中$tan53°=\frac{4}{3}$）

Answer 1

分析 （1）过C作CE⊥AB，根据题意知∠ACE=30°，∠ECB=53°，AC=150，解直角三角形即可求得AB长；
（2）作DF⊥AC于F，通过解直角三角形求解；即可得出AD的长．

解答 解：（1）作CE⊥AB于E，
由题意可知，∠ACE=30°，∠ECB=53°，
在RT△ACE中，AC=150，
∴CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=75$\sqrt{3}$，AE=$\frac{1}{2}$AC=75，
在RT△BCE中，EC=75$\sqrt{3}$，
∴BE=tan53°•CE=$\frac{4}{3}$×75$\sqrt{3}$=100$\sqrt{3}$，
∴AB=AE+BE=75+100$\sqrt{3}$（千米），
故新修高速公路AB的长度为（75+100$\sqrt{3}$）千米；
（2）作DF⊥AC于F，
∵∠ACE=30°，∠DCE=15°
∴∠ACD=45°，∠A=60°，
∴∠CDF=45°，
∴ACD=∠CDF，
∴CF=DF，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD，CF=DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，
∴$\frac{1}{2}$AD+$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=150，
∴AD=$150\sqrt{3}-150$．
所以，D到A市距离为（150$\sqrt{3}$-150）千米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．