Question

17．（1）太原双塔寺，为国家级文物保护单位，由于双塔耸立．被人们称为“文笔双塔”，成为太原的标志．小明学习了“利用三角函数测量不可达物体高度”的知识后．利用图1求塔DE的高．具体做法：在地面A、B两处测得塔DE的仰角分别为α、β，且测得AB=a米．设DE=h米，由AE-BE=a可得关于h的方程$\frac{h}{tanα}$-$\frac{h}{tanβ}$=a，解得h=$\frac{a•tanα•tanβ}{tanβ-tanα}$
（2）请你用上述基本模型解决下列问题：如图2，斜坡AE的坡度为1：$\sqrt{3}$，在A处测得塔尖D的仰角为60°，沿着斜坡向上走10米到达B，在B处侧得塔尖D的仰角为75°，求塔DE的高．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADE中求出AE，在Rt△BDE中求出BE，然后根据AE-BE=AB得出方程，解出即可．
（2）过点B作BG⊥CE于点G，过点D作DH⊥AE，根据图形中的三角函数关系可表示出DH，继而Rt△DEH中可表示出DE．

解答 解：（1）∵在Rt△ABE中，AE=$\frac{DE}{tan∠DAE}$=$\frac{h}{tanα}$，
在Rt△BDE中，BE=$\frac{DE}{tan∠DBE}$=$\frac{h}{tanβ}$，
∴由AE-BE=a可得方程：$\frac{h}{tanα}$-$\frac{h}{tanβ}$=a，
解得：h=$\frac{a•tanα•tanβ}{tanβ-tanα}$，
故答案为：$\frac{h}{tanα}$-$\frac{h}{tanβ}$=a，$\frac{a•tanα•tanβ}{tanβ-tanα}$；

（2）如图，过点B作BG⊥CE于点G，过点D作DH⊥AE，交AE延长线于点H，

∵tan∠BAC=i=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAC=30°，
∵∠DAC=60°，
∴∠DAH=∠EAC=30°，
∵∠BGE=∠C=90°，
∴BG∥AC，
∴∠EAC=∠EBG=30°，
∵∠DBG=75°，
∴∠DBH=45°，
由（1）中结论可得：DH=$\frac{AB•tan∠DAH•tan∠DBH}{tan∠DBH-tan∠DAH}$=$\frac{10×\frac{\sqrt{3}}{3}×1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$=5$\sqrt{3}$+5，
∵∠BEG=∠DEH、且∠BGE=∠DHE=90°，
∴∠EDH=∠EBG=30°，
∴DE=$\frac{DH}{cos∠EDH}$=$\frac{5\sqrt{3}+5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=10+$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$，
故塔高为10+$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$米．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角及坡度坡比的问题，熟练掌握三角函数的定义，并添加合适辅助线构建基本模型是解题的关键．