题目内容
如图，抛物线y=x2-2x+c过点A（3，0），交y轴于点D．直线y=-
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（1）求△DBM的面积；
（2）在该抛物线的对称轴上有一点P，使得△POM的周长最小，求点P的坐标并写出△POM周长的最小值；
（3）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为C，点G在射线MB上，过点G作线段CG的垂线交y轴于H，连结CH．若∠GCH=30°，求点G的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）把A代入y=x2-2x+c求得c，根据解析式求得D点坐标和对称轴，然后根据直线解析式求得M点的坐标，从而求得DM的长，依据面积公式求得．
（2）根据抛物线的对称性求出点B的坐标，作直线BC，由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小，然后根据勾股定理求得．
（3）过G点作GN⊥OC于N，GQ⊥OM于Q，通过三角形相似求得QG：NG=HG：CG，根据已知∠GCH=30°，利用三角函数表示出G点的横纵坐标的比值，从而求得点G的坐标．
（2）根据抛物线的对称性求出点B的坐标，作直线BC，由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小，然后根据勾股定理求得．
（3）过G点作GN⊥OC于N，GQ⊥OM于Q，通过三角形相似求得QG：NG=HG：CG，根据已知∠GCH=30°，利用三角函数表示出G点的横纵坐标的比值，从而求得点G的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线y=x2-2x+c过点A（3，0），
∴0=32-2×3+c，
解得：c=-3；
∴解析式为y=x2-2x-3，D（0，-3）；
∵直线y=-
x-1交y轴于点M，
∴M（0，-1），抛物线的对称轴为：x=1，
OD=3，OM=1，
∴DM=2，
∴S△DBM=
DM×1=
×2×1=1；
（2）如图，在X轴上截取CN=OC，连接MN，交对称轴于P点；
∴N（2，0），
∵M（0，-1），
∴直线MN解析式：y=
x-1，
当x=1时，y=-
；
∴P（1，-
），
∴由几何知识可知，PM+PN=PM+PO为最小，
在RT△POC中
PO=
=
；
∴PM=
；
∴△POM周长的最小值；1+
；
（3）如图过G点作GN⊥OC于N，GQ⊥OM于Q，
∵∠CGN=∠QGH，
∴△QGH∽△NGC，
∴QG：NG=HG：CG，
∵∠GCH=30°，
∴
=tan30°=
，
设G（x，-
x-1），
∴（
x+1）：x=
，
解得：x=
，
∴y=-
x-1=-2，
∴G（
，-2）．
∴0=32-2×3+c，
解得：c=-3；
∴解析式为y=x2-2x-3，D（0，-3）；
∵直线y=-
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∴M（0，-1），抛物线的对称轴为：x=1，
OD=3，OM=1，
∴DM=2，
∴S△DBM=
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（2）如图，在X轴上截取CN=OC，连接MN，交对称轴于P点；
∴N（2，0），
∵M（0，-1），
∴直线MN解析式：y=
| 1 |
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当x=1时，y=-
| 1 |
| 2 |
∴P（1，-
| 1 |
| 2 |
∴由几何知识可知，PM+PN=PM+PO为最小，
在RT△POC中
PO=
| OC2+PC2 |
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∴PM=
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∴△POM周长的最小值；1+
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（3）如图过G点作GN⊥OC于N，GQ⊥OM于Q，
∵∠CGN=∠QGH，
∴△QGH∽△NGC，
∴QG：NG=HG：CG，
∵∠GCH=30°，
∴
| HG |
| CG |
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设G（x，-
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∴（
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| 3 |
解得：x=
2
| ||
| 3 |
∴y=-
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∴G（
2
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点评：本题考查了二次函数的综合题：利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点式以及三角形相似的性质，利用三角函数解直角三角形等．
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