Question

13．如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，若点E在CA的延长线上，AM⊥BE于点M，交BD的延长线于点F，请你将图形补充完整，其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？
（提醒：先画图再回答、不需要说明理由；只回答、不画图不得分）

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA，又因为AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，从而求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．
（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA，再根据已知条件求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．
（3）如图3，同理可得OE=OF．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA=∠AFO．
∴△BOE≌△AOF．
∴OE=OF．

（2）解：OE=OF成立．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF=90°，
∵∠E+∠OBE=90°，
又∵∠MBF=∠OBE，
∴∠F=∠E．
∴△BOE≌△AOF．
∴OE=OF．

（3）解：OE=OF成立．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MAM=90°，
∵∠F+∠OAF=90°，
又∵∠MAM=∠OAF，
∴∠F=∠E．
∴△BOE≌△AOF．
∴OE=OF．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，并运用了类比的思想，三个问题都是证明△BOE≌△AOF解决问题．