Question

如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠DAC、∠ACF的平分线相交于点E，EH⊥AC，垂足为点H．求证：∠AEB=∠CEH．

Answer 1

考点：角平分线的性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：证明题

分析：过点E作EM⊥BC于M，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出∠CAE，∠ECM，再根据三角形的内角和定理表示出∠AEB，根据直角三角形两锐角互余表示出∠CEM，即为∠CEH，从而得证．

解答：证明：如图，过点E作EM⊥BC于M，
∵∠ABC的平分线与△ABC的外角∠DAC、∠ACF的平分线相交于点E，
∴∠CAE=

1

2

（∠ABC+∠ACB），∠ECM=

1

2

（∠BAC+∠ABC），
在△ABE中，∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE，
=180°-

1

2

∠ABC-∠BAC-

1

2

（∠ABC+∠ACB），
=180°-∠ABC-∠BAC-

1

2

∠ACB，
=

1

2

∠ACB，
∵EH⊥AC，
∴∠CEH=∠CEM=90°-∠ECM=90°-

1

2

（∠BAC+∠ABC）=90°-

1

2

（180°-∠ACB），
=

1

2

∠ACB，
∴∠AEB=∠CEH．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并分别表示出∠AEB和∠CEH是解题的关键．