Question

16．已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．
（1）若∠O=40°，求∠ECF的度数；
（2）求证：CG平分∠OCD；
（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质，得到∠ACE=40°，根据平角的定义以及角平分线的定义，即可得到∠ACF=70°，进而得出∠ECF的度数；
（2）根据∠DCG+∠DCF=90°，∠GCO+∠FCA=90°，以及∠ACF=∠DCF，运用等角的余角相等，即可得到∠GCO=∠GCD，即CG平分∠OCD；
（3）当∠O=60°时，根据平行线的性质，得出∠DCO=∠O=60°，再根据角平分线的定义，即可得到∠DCF=60°，据此可得∠DCO=∠DCF．

解答 解：（1）∵DE∥OB，
∴∠O=∠ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵∠O=40°，
∴∠ACE=40°，
∵∠ACD+∠ACE=180°，（平角定义）
∴∠ACD=140°，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=70°，（角平分线定义）
∴∠ECF=70°+40°=110°；

（2）证明：∵CG⊥CF，
∴∠FCG=90°，
∴∠DCG+∠DCF=90°，
又∵∠AOC=180°，（平角定义）
∴∠GCO+∠FCA=90°，
∵∠ACF=∠DCF，
∴∠GCO=∠GCD，（等角的余角相等）
即CG平分∠OCD． 

（3）结论：当∠O=60°时，CD平分∠OCF．
当∠O=60°时，
∵DE∥OB，
∴∠DCO=∠O=60°．
∴∠ACD=120°．
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF=60°，
∴∠DCO=∠DCF，
即CD平分∠OCF．

点评 本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题时注意：两直线平行，同位角相等，内错角相等．