Question

17．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．若AD•BC=9，则直径AB的长为（　　）

• A． 3$\sqrt{2}$
• B． 6
• C． 9
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 先证明∠DOC=90°，再证明△AOD∽△BCO得OA²=AD•BC，由此即可解决问题．

解答 解：如图，连接OC．
∵AM和BN是它的两条切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∴∠ADE+∠BCE=180°
∵DC切⊙O于E，
∴∠ODE=$\frac{1}{2}$∠ADE，∠OCE=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠ODE+∠OCE=90°，
∴∠DOC=90°，
∴∠AOD+∠COB=90°，
∵∠AOD+∠ADO=90°，
∴∠AOD=∠OCB，
∵∠OAD=∠OBC=90°，
∴△AOD∽△BCO，
∴$\frac{AD}{BO}=\frac{AO}{BC}$，
∴OA²=AD•BC=9，
∴OA=3，
∴AB=2•OA=6．
故选B．

点评 本题考查切线的性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形性质解决问题，属于中考常考题型．