Question

16．（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG，G在AD边上，E在CD的延长线上．求证：AE=CG，AE⊥CG；
（2）如图2，若将图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转角度θ（0°＜θ＜90°），此时AE=CG还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°时，延长CG交AE于点H，当AD=4，DG=$\sqrt{2}$时，求线段CH的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ADE≌△CDG，然后用互余判断出垂直；
（2）先判断出△ADE≌△CDG，然后用互余判断出垂直；
（3）先判断出△ADE≌△CDG，然后用互余判断出垂直，然后用勾股定理计算出CM，AM最后用相似即可．

解答 解：（1）在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠ADE=∠CDG}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG，∠AED=∠CGD，
∵∠DCG+∠CGD=90°，
∴∠DCG+∠AED=90°，
∴AE⊥CG．
（2）∵∠CDG+∠ADG=90°，∠ADE+∠ADG=90°，
∴∠CDG=∠ADE
在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠ADE=∠CDG}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG，∠AED=∠CGD，
∵∠DCG+∠CGD=90°，
∴∠DCG+∠AED=90°，
∴AE⊥CG．
（3）如图，

过点E作AD的垂线，垂足为N，连接AC，
在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠ADE=∠CDG}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠EAD=∠DCM
∴tan∠DCM=$\frac{1}{3}$，
∴DM=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{4}{3}$
∴CM=$\sqrt{C{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，AM=AD-DM=$\frac{8}{3}$
∵△CMD∽△AMH，
∴$\frac{AH}{CD}=\frac{AM}{CM}$，
∴AH=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，判定，利用互余判断出直角，勾股定理，三角函数的意义，解本题的关键是判定三角形全等．