Question

4．如图（1），⊙O的半径为1cm，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M在CD的延长线上，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P在线段DM上，且PN与⊙O相切于点N．
（1）求证：PM=PN；
（2）连结AC、CN，如图（2），若∠AMO=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连结ON，根据同圆的半径相等，得到OA=ON，∠ONA=∠OAN，由等腰三角形的判定与性质定理推出结论．
（2）连结ON，作NE⊥OD，由含30°的直角三角形的性质得到NE=$\frac{1}{2}ON=\frac{1}{2}$，根据扇形的面积公式求出结果．

解答 （1）证明：连结ON，
∵OA=ON，∴∠ONA=∠OAN，
在Rt△AOM中，
∵∠PMN+∠OAM=90°，
∴∠PMN+∠ONA=90°，
∵PN与⊙O相切，
∴∠PNO=90°，∴∠PNM+∠ONA=90°，
∴∠PNM=∠PMN，
∴PM=PN．

（2）解：连结ON，作NE⊥OD，垂足为点E，
∵∠AMO=30°，PM=PN，
∴∠PNM=30°，∠OPN=60°，
∵∠ONP=90°，∴∠PON=30°，
则NE=$\frac{1}{2}ON=\frac{1}{2}$，
∵∠AOM=90°，∴∠AON=60°．
∴S_阴影=S_△AOC+S_扇形AON-S_△CON=$\frac{1}{2}×1×1+\frac{60}{360}π×1-\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}+\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，扇形的面积公式，作出正确的辅助线是解题的关键．