Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；

（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S_△PAB=8，并求出此时P点的坐标．

Answer 1

【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】（1）由于抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x²+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值．

（2）根据S_△PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴方程x²+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，

∴﹣1+3=﹣b，

﹣1×3=c，

∴b=﹣2，c=﹣3，

∴二次函数解析式是y=x²﹣2x﹣3．

（2）∵y=﹣x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4，

∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．

（3）设P的纵坐标为|y_P|，

∵S_△PAB=8，

∴AB•|y_P|=8，

∵AB=3+1=4，

∴|y_P|=4，

∴y_P=±4，

把y_P=4代入解析式得，4=x²﹣2x﹣3，

解得，x=1±2，

把y_P=﹣4代入解析式得，﹣4=x²﹣2x﹣3，

解得，x=1，

∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S_△PAB=8．

【点评】此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题．