Question

如图1，在平面直角坐标系中，等边△OAB的顶点A（-6，0），顶点B在第二象限，顶点O为坐标原点，过点B作BC∥OA交y轴于点C．
（1）填空：点B的坐标是

 

；
（2）若点Q是线段OB上的一点，且OQ=

1

3

OB，过点Q作直线l分别与直线AO、
直线BC交于点H、G，以点O为圆心，OH的长为半径作⊙O．
①设点G的横坐标为x，当点G在直线BC上移动，试探究：当x为何值时，⊙O与直线BC、直线AB都分别相切？
②过点G作GD∥OC，交x轴于点D，若线段GD与⊙O有公共点P，且点M（1，1），探求：2PO+PM的最小值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由△OAB为等边三角形，且OB=6，所以BC=3，CO=3

3

，考虑象限中坐标的正负取值，结果易得．
（2）①分别相切，我们就把这种情形画出来，此时H点已知，Q点已知，连接HQ并延长，其与直线BC的交点记为G，根据三角形相关性质，G点的横坐标不难求出．
    ②2PO+PM，判定最值时我们一般首先把多倍的情况转化成某线段的长，因为这样比较起来更为直观，由上问可知

OH

BG

=

1

2

，又OH=OP，则易得2PO+PM=BG+PM．移动中发现，BG为平行于x轴的线段，且B点固定，有BG为B点到GD的距离，而PM不平行于x轴，若作辅助线有PM≥M到GD的距离．PM何时等于M到GD的距离呢？当G在y轴左边，存在情形如图4，M到GD距离=PM，则2PO+PM=B点到GD的距离+M到GD的距离=B点横坐标-M点横坐标．且B、M点固定，则最小距离易求．

解答：解：
（1）B(-3， 3

3

)．
分析如下：

如图1，过点B作BC⊥AO于C，
∵△OAB为等边三角形，
∴C为中点，
∴CO=

1

2

•AO=3，
∵∠OCB=

1

2

∠OBA=30°，
∴BC=

3

•CO=3

3

，
∴B（-3，3

3

）．

（2）
①

如图2，以O为圆心，OC的长为半径画圆，交AO于H，H'，连接HQ并延长，交BC的延长线于G，H'Q并延长，交CB的延长线于G'，
显然本题有两种情况．
∵△OAB是等边三角形，
∴O点到AB的距离=B点到AO的距离，
∵B点到AO的距离=OC=3

3

，
∴O点到AB的距离=3

3

，即⊙O与AB相切．
（i）
∵BC∥OA
∴

OH

BG

=

OQ

BQ

，
∵OQ=

1

3

OB，
∴

OQ

BQ

=

1

2

，
∵OH=OC=3

3

，
∴

3 3

BG

=

OQ

BQ

=

1

2

，
解得 BG=6

3

，
∴CG=BG-BC=6

3

-3，
∴当x=6

3

-3时，⊙O与直线BC、直线AB都分别相切．
（ii）
∵BC∥OA
∴

OH′

BG′

=

OQ

BQ

，
∵OQ=

1

3

OB，
∴

OQ

BQ

=

1

2

，
∵OH′=OC=3

3

，
∴

3 3

BG′

=

OQ

BQ

=

1

2

，
解得 BG′=6

3

，
∴CG′=BG′+BC=6

3

+3，
∴当x=6

3

+3时，⊙O与直线BC、直线AB都分别相切．
综上所述，x=6

3

-3或x=-6

3

-3时⊙O与直线BC、直线AB都分别相切．

②

如图3，过点M作x轴的平行线l，交GD于N，
由①可得

OH

BG

=

1

2

，
∴

OP

BG

=

1

2

，
∴2OP+PM=BG+PM．
在Rt△PMN中，
∵PM≥MN（等号在P、N重合时成立）
∴2PO+PM=BG+PM≥BG+MN．
若移动G点至G'位置，此时N'，P'重合，此时2PO+PM应最小．
显然G移动，H也跟着移动，圆的大小也发生变化，是否有P、N重合的情景呢？

如图4，在运动的过程中，存在情形使得P、N重合，此时BG+PM=M的横坐标-B的横坐标．
∵B（-3，3

3

），M（1，1），
∴2PO+PM=BG+PM=x_M-x_B=1-（-3）=4，
2PO+PM的最小值是4．

点评：本题考查了等边三角形的特殊性质、圆与直线相切的证明及利用动态图形判断线段何时最短，是一道难度极高的题，尤其（2）②，将倍数线段首先转换并将所求距离转换为两点到直线距离的和，画图及思路不易想到．