Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，CD为⊙O的切线，C为切点，且CD⊥PA，垂足为D．
（1）若∠PAC=60°，求∠CAE的度数；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OC，由切线的性质得OC⊥CD，因为CD⊥PA，所以PA∥OC，∠ACO=∠PAC=60°，由半径相等得∠CAE=∠ACO=60°；
（2）过O作OM⊥AB于M，则AB=2AM．易得四边形DMOC是矩形，OM=CD，DM=OC=5．设DC=x，则DA=6-x．在Rt△AMO中有勾股定理即可求得AM的值，进而得AB的值．

解答：解：（1）连接OC，

∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
又∵CD⊥PA，
∴PA∥OC，
∴∠ACO=∠PAC=60°．
又∵OA=OC，
∴∠CAE=∠ACO=60°；
（2）过O作OM⊥AB于M，
则AB=2AM．

∵∠CDM=∠DCO=90°，
∴四边形DMOC是矩形，
∴OM=CD，DM=OC=5．
设DC=x，则DA=6-x．
∴AM=5-（6-x）=x-1．
在Rt△AMO中，（x-1）²+x²=5²，
解得x₁=4，x₂=-3（舍去）．
∴AM=4-1=3，
AB=2AM=6．

点评：本题主要考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．