Question

如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在y轴的正半轴上，∠OAB=90°，B（-5，12），将△ABO绕着点O顺时针旋转90°，使得点A落在点C处，点B落在点D处，联结AD、BD．那么∠ABD的余切值为

 

．

Answer 1

考点：坐标与图形变化-旋转

专题：

分析：根据旋转的性质写出点D的坐标，设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BD的解析式，再设BD与y轴相交于点E，求出点E的坐标，再求出AE，然后根据锐角的余切值等于邻边比对边列式计算即可得解．

解答：解：∵△ABO绕着点O顺时针旋转90°，点B（-5，12）落在点D处，
∴点D的坐标为（12，5），
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-5k+b=12 12k+b=5

，
解得

k=- 7 17 b= 169 17

，
所以，直线BD的解析式为y=-

7

17

x+

169

17

，
设BD与y轴相交于点E，则点E的坐标为（0，

169

17

），
∴AE=12-

169

17

=

35

17

，
∴cot∠ABD=

AB

AE

=

5

35 17

=

17

7

．
故答案为：

17

7

．

点评：本题考查了坐标与图形变化-旋转，锐角三角函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，作出图形并确定出以∠ABD为锐角的直角三角形是解题的关键．