Question

如图，把△ABD绕点A逆时针旋转至△ACE，且点C在线段BD的延长线上，连接DE交AC于点F．
（1）直接写出图中两对相似但不全等的三角形，并选择一对给予证明．
（2）若旋转角为α，试探究α与∠DCE之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,旋转的性质

专题：

分析：（1）由把△ABD绕点A逆时针旋转至△ACE，可得∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，易证得△ABC∽△ADE；继而可证得△AFE∽△DFC；
（2）由△AFE∽△DFC，可得△AFE∽△DFC，即可得

AF

DF

=

EF

CF

，∠CAE=∠CDF，继而可证得△AFD∽△EFC，得到∠DAF=∠CEF，则可求得α与∠DCE之间的数量关系．

解答：解：（1）△ABC∽△ADE，△AFE∽△DFC；
证明：∵把△ABD绕点A逆时针旋转至△ACE，
∴∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，
∴

AB

AD

=

AC

AE

，
∴△ABC∽△ADE；
∴∠AED=∠ACB，
∵∠AFE=∠CFD，
∴△AFE∽△DFC；

（2）α=180°-∠DCE．
证明：∵△AFE∽△DFC，
∴

AF

DF

=

EF

CF

，∠CAE=∠CDF，
即

AF

EF

=

DF

CF

，
∵∠AFD=∠EFC，
∴△AFD∽△EFC，
∴∠DAF=∠CEF，
∵∠CEF+∠CDF+∠DCE=180°，∠DAF+∠CAE=∠DAE=α，
∴α+∠DCE=180°，
即α=180°-∠DCE．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及旋转的性质．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．