Question

解方程：x（x+1）（x+2）（x+3）+1=0．

Answer 1

考点：换元法解一元二次方程

专题：

分析：先设y=x²+3x，则原方程变形为y²+2y+1=0，运用因式分解法解得y₁=y₂=-1，再把y=-1代入y=x²+3x得到关于x的一元二次方程，然后解一元二次方程，最后确定原方程的解．

解答：解：整理，得（x²+3x）²+2（x²+3x）+1=0
设y=x²+3x，
原方程变形为y²+2y+1=0，
（y+1）²=0，
解得y₁=y₂=-1，
∴x²+3x+1=0，
解得x=

-3± 9-4×1×1

2×1

=

-3± 5

2

∴x₁=

-3+ 5

2

，x₂=

-3- 5

2

，
所以原方程的解为x₁=

-3+ 5

2

，x₂=

-3- 5

2

．

点评：本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．