Question

2．如图，在平行四边形ABCD中，延长BA至点E，使AE=AB，点F、P在边AD所在的直线上，EF∥CP．
（1）求证：DF-DP=BC；
（2）的条件下，若CD=15，EF=20，tan∠AFE=$\frac{3}{4}$，BC=14，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）证出∠EAF=∠CDP，∠F=∠P，由AAS证明△AEF≌△DCP，得出DP=AF，即可得出结论；
（2）过点E作EG⊥AD于点G，与平行四边形的性质得出AE=AB=CD=15，AD=BC=14，由三角函数求出EG=12，FG=16，由勾股定理求出AG=9，得出AF=7，即可得出DF的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAF=∠CDA，
∴180°-∠BAF=180°-∠CDA，
∴∠EAF=∠CDP，
∵AE=AB，
∴AE=DC，
∵EF∥CP，
∴∠F=∠P，
在△AEF和△DCP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠CDP}&{\;}\\{∠F=∠P}&{\;}\\{AE=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DCP（AAS），
∴DP=AF，
∵DF-AF=AD，
∴DF-DP=BC；
（2）过点E作EG⊥AD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=AB=CD=15，AD=BC=14，
在Rt△EFG中，tan∠AFE=$\frac{EG}{FG}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠AFE=$\frac{EG}{EF}$=$\frac{3}{5}$，cos∠AFE=$\frac{4}{5}$，
∴EG=sin∠AFE×EF=$\frac{3}{5}$×20=12，FG=cos∠AFE×EF=$\frac{4}{5}$×20=16，
∴在Rt△EFG中，由勾股定理得：AG═$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，
∴AF=FG-AG=16-9=7，
∴DF=AF+AD=7+14=21．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．