Question

10．将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点 E，分别连接EB，EC．
（1）求证：EC平分∠AEB；
（2）求$\frac{{{S_{△{A}C{E}}}}}{{{S_{△{B}{E}C}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；
（2）方法1、设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出$\frac{AM}{MB}$=$\frac{AE}{EB}$．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=$\sqrt{3}$BE，那么$\frac{AM}{MB}$=$\frac{AE}{EB}$=$\sqrt{3}$．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例得出$\frac{AF}{BG}$=$\frac{AM}{MB}$=$\sqrt{3}$，进而求出$\frac{{{S_{△{A}C{E}}}}}{{{S_{△{B}{E}C}}}}$=$\frac{\frac{1}{2}CE•AF}{\frac{1}{2}CE•BG}$=$\frac{AF}{BG}$=$\sqrt{3}$．
方法2、易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=$\sqrt{3}$BE，那么$\frac{AM}{MB}$=$\frac{AE}{EB}$=$\sqrt{3}$，再用角平分线定理判断出CP=CQ，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，
∴∠AEC=∠BEC，
即EC平分∠AEB；

（2）解：如图，设AB与CE交于点M．
∵EC平分∠AEB，
∴$\frac{AM}{MB}$=$\frac{AE}{EB}$．
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，
∴∠BAD=30°，
∵以AB为直径的圆经过点E，
∴∠AEB=90°，
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$BE，
∴$\frac{AM}{MB}$=$\frac{AE}{EB}$=$\sqrt{3}$．
作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．
在△AFM与△BGM中，
∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，
∴△AFM∽△BGM，
∴$\frac{AF}{BG}$=$\frac{AM}{MB}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{{S_{△{A}C{E}}}}}{{{S_{△{B}{E}C}}}}$=$\frac{\frac{1}{2}CE•AF}{\frac{1}{2}CE•BG}$=$\frac{AF}{BG}$=$\sqrt{3}$．

方法2、如图1，
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，
∴∠BAD=30°，
∵以AB为直径的圆经过点E，
∴∠AEB=90°，
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$BE，
过点C作CP⊥AE于P，过点C作CQ⊥EB交延长线于Q，
由（1）知，EC是∠AEB的角平分线，
∴CP=CQ，
∴$\frac{{{S_{△{A}C{E}}}}}{{{S_{△{B}{E}C}}}}$=$\frac{\frac{1}{2}AE•CP}{\frac{1}{2}BE•CQ}$=$\frac{AE}{BE}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，通过作辅助线得出$\frac{AF}{BG}$=$\frac{AM}{MB}$=$\sqrt{3}$是解题的关键．