Question

6．综合与实践：
问题情境：
    在综合实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的剪拼”为主题展开教学活动，如图1，将一张正方形纸片ABCD沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，点O是对角线BD的中点．
操作发现：
（1）将图（1）中的△BCD沿DA方向平移，点D的对应点为D′，点B的对应点为B′，点O的对应点为O′，B′D′与AB交于点P，D′C与BD交于点Q，得到图（2），则四边形D′PBQ的形状是平行四边形．
（2）“实践小组”的同学将图（1）中的△BCD以点D为旋转中心，按顺时针方向旋转45°，得到△B′C′D，点O的对应点为O′，B′C′与AB交于点E，连接AO，O′C′交于点F，得到图（3），发现四边形AEC′F是菱形，请你证明这个结论．
实践探究：
（3）“创新小组”在实践小组操作的基础上，将图（3）中的△B′C′D以点C′为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得C′D′⊥AD，垂足为M，B′C′⊥AB，垂足为N，分别连接OM，MO′，O′N，ON，得到图（4），他们认为四边形OMO′N是正方形．“创新小组”的发现是否正确？请你说明理由．
（4）请你参照以上操作，将图（1）中的△BCD在同一平面内进行一次图形变换，得到△B′C′D′，在图（5）中画出图形变换后构造出的新图形．标明字母，说明图形变换及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．

Answer 1

分析 （1）利用平移的性质直接得出结论；
（2）先利用旋转的性质和正方形的性质得出四边形AEC′F是平行四边形，再判断出△AB′E≌△C′BE即可得出结论；
（3）利用性质和正方形的性质判断出△OAM≌△O′D′M≌△O′C′N≌△OBN即可得出OM=O′M=O′N=ON，∠MOA=∠NOB，再判断出∠NOM=90°即可得出结论；
（4）作出△BCD沿BD方向平移的△B'C'D'，用全等三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）∵△B'C'D'是△BCD平移得到，
∴B'D'∥BD，AD∥B'C'，
∴四边形PBQD'是平行四边形，
故答案为平行四边形；                           

（2）∵四边形ABCD为正方形，∠ADB=∠CDB=45°，
∴将△BCD以点D为旋转中心，顺时针旋转45°后，点C′落在BD上，点B′落在DA的延长线上．
∵AB⊥AD，C′O′⊥AD，
∴AB∥O′C′．
∵B′C′⊥BD，AO⊥BD，
∴B′C′∥AO．
∴四边形AEC′F是平行四边形．
∵BD=B′D′，AD=C′D，
∴AB′=BC′，
又∵∠EAB′=∠EC′B，∠B=∠B′=45°，
∴△AB′E≌△C′BE，
∴AE=EC′，
∴四边形AEC′F菱形．

（3）“创新小组”的发现是正确的．
如图1，连接OA，O′C′，则四边形ANC′M是矩形．
∵△C′MD，△AB′N是等腰直角三角形．
∴DM=MC′，AN=B′N，
又∵AB=B′C′=C′D′=AD，
∴AM=D′M=BN=NC′．
又∵OA=OD=OB，O′C′=O′D′=O′B′，
∴OA=O′C′，
∵∠OAD=∠O′D′M=∠O′C′N=∠B=45°，
∴△OAM≌△O′D′M≌△O′C′N≌△OBN，
∴OM=O′M=O′N=ON，∠MOA=∠NOB
又∵OA⊥BD，∠AOB=90°，
∴∠NOM=90°，
∴四边形NOMO′是正方形．

（4）如图2所示．
构图方法：将△BCD沿BD方向平移，得到△B′C'D′，
连接AB′、DC'．
结论：四边形AB′C'D是平行四边形．
理由：∵△B'C'D'是△BCD沿BD方向平移所得，∴AD=B'C'，AD∥B'C'，∴∠ADB'=∠C'B'D，
在△AB'D和△CDB'中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=C'B'}\\{∠ADB'=∠C'B'D}\\{B'D=DB'}\end{array}\right.$，
∴△AB'D≌△CDB'，
∴AD=C'B'，
∵AD∥B'C'，
∴四边形AB′C'D是平行四边形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，平移，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是利用平移的性质，解（2）的关键是判断出四边形AEC′F是平行四边形，解（3）的关键是△OAM≌△O′D′M≌△O′C′N≌△OBN，解（4）的关键是作出图形．