题目内容
如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点：
二次函数综合题。
专题：
综合题。
分析：
（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标；
（2）分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标．
（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（a，﹣
a2+
a+2），分情况讨论，①当P点在y轴右侧时，②当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴
，
解得：
∴y=﹣x2+
x+2；
当y=2时，﹣
x2+x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍），
即：点D坐标为（3，2）．
（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
①当AE为一边时，AE∥PD，
∴P1（0，2），
②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，
可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，
∴P点的纵坐标为﹣2，
代入抛物线的解析式：﹣x2+x+2=﹣2
解得：x1=
，x2=
，
∴P点的坐标为（，﹣2），（
，﹣2）
综上所述：p1（0，2）；p2（
，﹣2）；p3（，﹣2）．
（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，﹣
a2+
a+2），
①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，
PQ=2﹣（﹣
a2+
a+2）=a2﹣a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，
∴△COQ′～△Q′FP，
，
，
∴Q′F=a﹣3，
∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣（a﹣3）=3，CQ=CQ′=
=
，
此时a=
，点P的坐标为（，
），
②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，，﹣
a2+
a+2＜0，CQ=﹣a，
PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴△COQ′～△Q′FP，
，
，Q′F=3﹣a，
∴OQ′=3，
CQ=CQ′=
，
此时a=﹣
，点P的坐标为（﹣，
）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（，
），（﹣
，
）．
点评：
此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目，同学们一定要留意．
两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？
O为坐标原点，抛物线上一点C的横坐标为1．
此抛物线上，矩形面积为12，
与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．