Question

1．（1）观察下面各式规律：
1²+（1×2）²+2²=（1×2+1）²；
2²+（2×3）²+3²=（2×3+1）²；
3²+（3×4）²+4²=（3×4+1）²；
…
写出第n行的式子，并证明你的结论．
（2）计算下列各式，你发现了什么规律？
①2001×2003-2002²；  ②99×101-100²； ③9999×10001-10000²．

Answer 1

分析 （1）仔细观察各式的结构特征，不难发现式子的左侧是连续两整数及它们乘积的平方和，右侧是它们的乘积与1的和的平方．然后，证明结论．
（2）根据平方差公式，可得答案，根据计算，可发现规律：一个数加1乘以这个数减1比这个数的平方小1．

解答 解：（1）第n个式子：n²+[n（n+1）]²+（n+1）²=[n（n+1）+1]²，
证明：因为左边=n²+[n（n+1）]²+（n+1）²，
=n²+（n²+n）²+（n+1）²，
=（n²+n）²+2n²+2n+1，
=（n²+n）²+2（n²+n）+1，
=（n²+n+1）²，
而右边=（n²+n+1）²，
所以，左边=右边，等式成立；
（2）①原式=（2002-1）（2002+1）-2002²=2002²-1-2002²=-1；
②原式=（100--1）（100+1）-100²=100²-1-100²=-1；
③原式=（10000-1）（10000+1）-10000²=10000²-1-10000²=-1，
规律：一个数加1乘以这个数减1比这个数的平方小1．

点评 此题考查了完全平方公式，关键是凑成（n²+n）²+2（n²+n）+1的形式，考查了学生对完全平方公式的变形应用能力．