Question

12．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠ABC交CD于F，CG平分∠ACD，求证：BE⊥CG．

Answer 1

分析 根据直角三角形的性质得到∠A=∠ACD=∠A+∠ABC=90°，推出∠ACD=∠ABC，根据角平分线的定义得到∠ACG=$\frac{1}{2}∠$ACD，$∠CBE=\frac{1}{2}∠ABC$，推出∠ACG=∠CBE，等量代换即可得到结论．

解答 证明：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴∠A=∠ACD=∠A+∠ABC=90°，
∴∠ACD=∠ABC，
∵BE平分∠ABC交CD于F，CG平分∠ACD，
∴∠ACG=$\frac{1}{2}∠$ACD，$∠CBE=\frac{1}{2}∠ABC$，
∴∠ACG=∠CBE，
∵∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠CEB+∠ACG=90°，
∴BE⊥CG．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．