Question

4．已知方程2x²-3x-4=0的两个根是x₁，x₂，求下列各式的值．
（1）x₁²+x₁x₂+x₂²；  （2）$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-2，变形后代入求出即可；
（2）先通分，再变形后代入求出即可．

解答 解：（1）∵方程2x²-3x-4=0的两个根是x₁，x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-2，
∴x₁²+x₁x₂+x₂²；=（x₁+x₂）²-x₁x₂
=（$\frac{3}{2}$）²-（-2）
=4$\frac{1}{2}$；

（2）∵x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-2，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$
=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{（\frac{3}{2}）^{2}-2×（-2）}{-2}$
=-$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了根与系数关系，完全平方公式的应用，能熟记根与系数关系的内容是解此题的关键，若x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．