Question

10．如图，在等边△ABC中，点D在BC的延长线上，连接AD，∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F，过点F作MF∥BC交射线AB于点M．
（1）四边形BCFM是平行四边形吗？请说明理由；
（2）求证：CF+CD=BE；
（3）若∠ADC=30°，AB=8，求BE、CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）由四边形BCFM是平行四边形，得到BM=CF，FM=BC，由△ABC是等边三角形，得到AC=BC，∠ACB=∠ABC=60°，等量代换得到AC=MF，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）由∠ADC=30°，∠ACB=∠ABC=60°，得到∠BAD=90°，∠CAD=∠CDA=30°，根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论．

解答 解：（1）四边形BCFM是平行四边形，
理由：∵CF∥AB，MF∥BC，
∴四边形BCFM是平行四边形；
（2）∵四边形BCFM是平行四边形，
∴BM=CF，FM=BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠ABC=60°，
∴AC=MF，
∵MF=BC，
∴∠BMF=∠ABC=60°，∠CDF=∠MFE，
∴∠ACD=∠EMF=120°，
∴∠MEF+∠MFE=60°，
∵∠ADN=60°，
∴∠ADC+∠CDF=60°，
∴∠ADC=∠MEF，
在△ACD与△FME中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠MEF}\\{∠ACD=∠EMF}\\{AC=MF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△FME，
∴CD=ME，
∴BE=BM+ME=CF+CD；
（3）∵∠ADC=30°，∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠BAD=90°，∠CAD=∠CDA=30°，∠BDE=30°，
∵AB=8，
∴BD=16，AC=AB=BC=8，
∴CD=AC=8，
∵∠BDE=30°，∠EBD=120°，
∴∠BED=∠BDE=30°，
∴BE=BD=16．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．