Question

14．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AD=4，BC=9，锐角∠DBC的正弦值为$\frac{2}{3}$．
求：（1）对角线BD的长；
（2）梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）求出△ABD∽△DCB，得出比例式，即可得出答案；
（2）过D作DE⊥BC于E，解直角三角形求出DE，根据面积公式求出即可．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△DCB，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{BD}{BC}$，
∵AD=4，BC=9，
∴BD=6；

（2）
过D作DE⊥BC于E，
则∠DEB=90°，
∵锐角∠DBC的正弦值为$\frac{2}{3}$，
∴sin∠DBC=$\frac{DE}{BD}$=$\frac{2}{3}$，
∵BD=6，
∴DE=4，
∴梯形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$×（AD+BC）×DE=$\frac{1}{2}$×（4+9）×4=26．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，解直角三角形等知识点，能求出BD的长是解此题的关键．