Question

4．以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．
（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；
（2）延长BD交CE于点F，试求∠BFC的度数；
（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△EAC与△DAB全等，再利用全等三角形的性质解答即可；
（2）利用全等三角形的性质得出∠ECA=∠DBA，进而解答即可；
（3）根据（1）（2）中的证明步骤解答即可．

解答 解：（1）CE=BD，理由如下：
∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，
∴AE=AD，AC=AB，
在△EAC与△DAB中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}&{\;}\\{∠EAC=∠DAB=90°}&{\;}\\{AC=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴CE=BD；
（2）∵△EAC≌△DAB，
∴∠ECA=∠DBA，
∴∠ECA+∠CBF=∠DBA+∠CBF=45°，
∴∠ECA+∠CBF+∠DCB=45°+45°=90°，
∴∠BFC=180°-90°=90°；
（3）成立，
∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，
∴AE=AD，AC=AB，
在△EAC与△DAB中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}&{\;}\\{∠EAC=∠DAB=90°}&{\;}\\{AC=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴CE=BD；
∵△EAC≌△DAB，
∴∠ECA=∠DBA，
∴∠ECA+∠CBF=∠DBA+∠CBF=45°，
∴∠ECA+∠CBF+∠DCB=45°+45°=90°，
∴∠BFC=180°-90°=90°．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定及其性质知识点．