Question

【题目】如图，是直角三角形，，点、分别在、上，且．

下列结论：①，②，

③当时，是等边三角形，

④当时，，

其中正确结论的个数有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

①②构造辅助圆，利用圆周角定理解决问题即可；
③想办法证明BD＝AD即可；
④想办法证明∠BAD＝45°即可解决问题．

解：如图，由题意：，以A为圆心AB为半径，作⊙A．

∵
∴ ，故①②正确，

当时，∠DAC＝∠C，
∵∠BAD＋∠DAC＝90°，∠ABD＋∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴BD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，故③正确，
当时，∠ABD＝∠ADB＝67.5°，
∴∠BAD＝180°2×67.5°＝45°，
∴∠DAE＝∠BAD＝45°，
∵AB＝AE，AD＝AD，
∴△BAD≌△EAD（SAS），

∴，故④正确．
故选：D．