Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．
（1）求∠ABC的度数；
（2）如果BC=8，求△DBF的面积？

Answer 1

分析：（1）根据题意可得出∠ABC=∠DCB=2∠DBC，然后利用三角形的内角和定理可得出答案．
（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，根据角度的关系可求出DH的长度，然后利用梯形的性质求出线段BF的长，然后运用三角形的面积公式即可求解．

解答：解：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC
∴∠ABC=∠DCB
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠DBC=∠ABD=

1

2

∠ABC=

1

2

∠DCB，
即∠ABC=∠DCB=2∠DBC，
∵BD⊥DC，
∴∠DBC+∠DCB=90°
则∠DBC+2∠DBC=90°
∴∠DBC=30°
∴∠ABC=60°

（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，

∵∠DBC=30°，BC=8，
∴DC=4，
∵CF=CD∴CF=4，
∴BF=12，
∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC
∴∠F=30°，
∵∠DBC=30°，
∴∠F=∠DBC，
∴DB=DF，
∴BH=

1

2

BF=6，
在直角三角形DBH中tan∠DBC=

DH

BH

，
∴tan30°=

DH

6

，
∴DH=2

3

，
∴S△DBF=

1

2

•BF•DH=

1

2

×12×2

3

=12

3

，
即△DBF的面积为12

3

．

点评：本题考查了梯形及解直角三角形的知识，属于综合题目，解答本题时关键还是熟练掌握一些性质的运用．