Question

如图，已知点D是⊙O外的一点，DA为⊙O的切线，A为切点，AB为⊙O的直径，BD交⊙O于点C，若DA=4，DC=2，求图中阴影部分面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：根据圆周角定理求得AC⊥BD，进而求得cos∠D=

CD

AD

=

2

4

=

1

2

，从而求得∠D=60°，AC=2

3

，根据切线的性质求得AB⊥CD，进而求得∠B=30°，进一步求得∠COA=60°，得出△OAC是等边三角形，通过解直角三角形求得AB=

AC

sin30°

=4

3

，即可求得OC=OA=AC=2

3

，从而能够求得S_△AOC和S_△ACD，然后根据S_阴影=S_△AOC+S_△ACD-S_扇形即可求得．

解答：解：∵AB是直径，
∴AC⊥BD，
在RT△ADC中，cos∠D=

CD

AD

=

2

4

=

1

2

，
∴∠D=60°，AC=2

3

，
∵AD切⊙O于A，AB是直径，
∴AB⊥CD，
∴∠B=30°，
∴∠COA=60°，
∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴AB=

AC

sin30°

=4

3

，
∴OC=OA=AC=2

3

，
∴S_阴影=S_△AOC+S_△ACD-S_扇形=

1

2

×2

3

×

3

2

×2

3

+

1

2

×2×2

3

-

60π×(2 3 )2

360

=5

3

-2π．

点评：本题考查了圆周角定理，切线的性质，扇形面积的计算以及等边三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．