Question

设抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，在抛物线上取点C，使∠ACB=90°，那么b²-4ac的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：设A、B点坐标分别为x₁、x₂，求出用x₁、x₂表示的AB长度的表达式；求出抛物线顶点纵坐标表达式，根据顶点的纵坐标的绝对值大于或等于

1

2

AB的关系得到关系式；将b²-4ac看做一个整体，解不等式即可得到正确答案．

解答：解：设A、B点坐标分别为x₁、x₂，
则AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2-4× c a

=

b2-4ac

|a|

；
抛物线顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∵∠ACB=90°，
∴以AB为直径作圆与抛物线的交点即为C点，
∴|

4ac-b2

4a

|≥

1

2

×

b2-4ac

|a|

，
两边平方得，

(b2-4ac)2

16a2

≥

b-4ac

4a2

，
去分母得，（b²-4ac）²≥4（b²-4ac），
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，
∴b²-4ac＞0，
∴b²-4ac≥4．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点横坐标与两点间的距离的关系、抛物线顶点坐标及抛物线上点的坐标特征，根据已知得出顶点的纵坐标的绝对值大于或等于

1

2

AB的关系是本题的关键．