Question

7．阅读材料：把形如ax²+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a²±2ab+b²=（a±b）²
例如：（x-1）²+3、（x-2）²+2x、${（{\frac{1}{2}x-2}）^2}$+$\frac{3}{4}{x^2}$是x²-2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项--见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x²-4x+9三种不同形式的配方；
（2）将a²+ab+b²配方（至少两种不同形式）；
（3）已知a²+b²+c²-ab-3b-2c+4=0，求a+b+c的值．

Answer 1

分析 （1）（2）根据阅读材料可以得到可以把三项式中的两项作为完全平方式的两项，从而确定第三项即可；
（3）首先分组利用完全平方公式分解因式，利用非负数的性质求得a、b、c的数值，进一步求得a+b+c的值即可．

解答 解：（1）x²-4x+9的三种配方分别为：
x²-4x+9=（x-2）²+5；
x²-4x+9=（x+3）²-10x；
x²-4x+9=（x-3）²+2x（或x²-4x+9=${（{\frac{2}{3}x-3}）^2}+\frac{5}{9}{x^2}$）；

（2）a²+ab+b²=（a+b）²-ab；
或a²+ab+b²=（a+$\frac{1}{2}$b）²+$\frac{3}{4}$b²；
或a²+ab+b²=（a-b）²+3ab；
或a²+ab+b²=（a+b）²-ab；
或a²+ab+b²=${（{a+\frac{1}{2}b}）^2}+\frac{3}{4}{b^2}$${（{\frac{1}{2}a+b}）^2}+\frac{3}{4}{a^2}$；

（3）a²+b²+c²-ab-3b-2c+4=0
a²-ab+$\frac{1}{4}$b²+$\frac{3}{4}$（b²-4b+4）+c²-2c+1=0
（a-$\frac{1}{2}$b）²+$\frac{3}{4}$（b-2）²+（c-1）²=0
∴a-$\frac{1}{2}$b=0，$\frac{3}{4}$（b-2）=0，c-1=0
∴a=1，b=2，c=1，
则a+b+c=4．

点评 本题考查了完全平方式，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键．另外，注意分组的技巧和方法．