Question

如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧

AD

上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．
（1）求∠AGB的度数；
（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于17，BD=15，求CE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理

专题：计算题

分析：（1）连结AD，根据圆周角定理得∠DAC=∠DEC，而∠EBC=∠DEC，则∠DAC=∠EBC，由AC是⊙O的直径得到∠ADC=90°，即∠DCA+∠DAC=90°，所以∠EBC+∠DCA=90°，根据三角形内角和定理得到∠BGC=90°，则有∠AGB=90°；                   
（2）由于∠BDA=90°，∠ABC=45°，则∠BAD=45°，所以BD=AD=15，在Rt△ADC中，根据勾股定理计算出DC=8，则BC=BD+DC=23，再证明△BCE∽△ECD，然后利用相似比可计算CE的长．

解答：（1）证明：连结AD，如图，                     
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，
∴∠DAC=∠EBC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，
∴∠BGC=90°，
∴∠AGB=90°；                   

（2）解：∵∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD=15，
在Rt△ADC中，AC=17，AD=15，
∴DC=

AC2-AD2

=8，
∴BC=BD+DC=8+15=23，
∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD，
∴△BCE∽△ECD，
∴

BC

CE

=

CE

CD

，即

23

CE

=

CE

8

．
∴CE=2

46

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．也考查了圆周角定理和勾股定理．