Question

如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在点C（1，

1

2

）处，两直角边BC、AC分别与x，y轴平行，纸板的另两个顶点A、B恰好是直线y=kx+

9

2

与双曲线y=

m

x

（m＞0）的交点．
（1）试用含有m或k的代数式表示点A和点B的坐标；
（2）求直线AB及双曲线的解析式；
（3）设双曲线y=

m

x

（m＞0）在A、B之间的部分为L，让一把三角尺的直角顶点P在L上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB交于M，N两点，请探究是否存在点P，使得△ABC的面积是△MNP面积的四倍？请写出你的探究过程和结论．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）由题可得x_A=x_C=1，y_B=y_C=

1

2

，然后只需代入直线或双曲线的解析式，就可解决问题；
（2）根据点A、点B坐标的两种表示建立关于k和m的方程组，然后只需解这个方程组就可解决问题；
（3）易证△ACB∽△MPN，根据相似三角形的性质可求出MP，设点P的横坐标为a，就可得到y_M、y_P（用a的代数式表示），根据MP=y_M-y_P建立关于a的方程，解这个方程就可解决问题．

解答：解：（1）由题可得：x_A=x_C=1，y_B=y_C=

1

2

．
∵点A、B在直线y=kx+

9

2

上，
∴y_A=k+

9

2

，kx_B+

9

2

=

1

2

即x_B=-

4

k

，
∴点A为（1，k+

9

2

），点B为（-

4

k

，

1

2

）．
∵点A、B在双曲线y=

m

x

（m＞0）上，
∴y_A=

m

1

=m，

m

xB

=

1

2

即x_B=2m，
∴点A为（1，m），点B为（2m，

1

2

）．
∴点A的坐标可表示为（1，k+

9

2

），也可表示为（1，m），
点B的坐标可表示为（-

4

k

，

1

2

），也可表示为（2m，

1

2

）．

（2）由（1）可得：

k+ 9 2 =m - 4 k =2m

，
解得：

k=- 1 2 m=4

或

k=-4 m= 1 2

．
∵y_A＞y_C，即m＞

1

2

，
∴k=-

1

2

，m=4，
∴直线AB的解析式为y=-

1

2

x+

9

2

，双曲线的解析式为y=

4

x

；

（3）假设存在点P，使得△ABC的面积是△MNP面积的四倍．
∵MP∥AC∥y轴，PN∥BC∥x轴，
∴∠CAB=∠PMN，∠ABC=∠MNP，
∴△ACB∽△MPN，
∴

S△ACB

S△MPN

=（

AC

MP

）²=4，
∴AC=2MP．
∵AC=y_A-y_C=4-

1

2

=

7

2

，
∴MP=

7

4

．
设点P的横坐标为a，则点M的横坐标也为a，
∴y_M=-

1

2

a+

9

2

，y_N=

4

a

，
∴MP=y_M-y_P=-

1

2

a+

9

2

-

4

a

=

7

4

，
整理得：2a²-11a+16=0．
∵△=（-11）²-4×2×16=-7＜0，
∴该方程无解，
所以假设不成立，
因此不存在点P，使得△ABC的面积是△MNP面积的四倍．

点评：本题主要考查了用待定系数法求直线及双曲线的解析式、相似三角形的判定与性质、解方程组等知识，根据点A、点B坐标的两种表示方法建立方程组是解决第（2）小题的关键，利用MP=y_M-y_P建立方程是解决第（3）小题的关键．