Question

1．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，再利用旋转的性质得AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，于是可判断△APP′是等腰直角三角形；
（2）根据等腰直角三角形的性质得PP′=$\sqrt{2}$PA=$\sqrt{2}$，∠APP′=45°，再利用旋转的性质得PD=P′B=$\sqrt{10}$，接着根据勾股定理的逆定理可证明△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，然后利用平角定义计算∠BPQ的度数．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，
∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形；
（2）解：∵△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′=$\sqrt{2}$PA=$\sqrt{2}$，∠APP′=45°，
∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，
∴PD=P′B=$\sqrt{10}$，
在△PP′B中，PP′=$\sqrt{2}$，PB=2$\sqrt{2}$，P′B=$\sqrt{10}$，
∵（$\sqrt{2}$）²+（2$\sqrt{2}$）²=（$\sqrt{10}$）²，
∴PP′²+PB²=P′B²，
∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，
∴∠BPQ=180°-∠APP′-∠P′PB=180°-45°-90°=45°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理的逆定理．