Question

7．△ABC是等边三角形，点D是射线上BC上的一个动点（点D不与点B，C重合，△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB，AC于点F，G，连接BE．如图1所示，当点D在线段BC上时．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）探究四边形BCGE是哪种特殊的四边形，并说明理由．如图2所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的结论是否成立．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，利用等量减等量差相等可得到∠DAC=∠BAE，则可根据“SAS”证明△ABE≌△ADC；
（2）由△ABC和△DE都是等边三角形得到∠ACB=∠BAC=60°，由△ABE≌△ADC得到∠ABE=∠ACD=60°，则∠ABE=∠BAC，根据平行线的判定得到BE∥AC，加上EG∥BC，于是根据平行四边形的判定方法得到四边形BCGE为平行四边形；与（1）一样可证得△ABE≌△ADC．

解答 （1）证明：∵△ABC和△DE都是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD，即∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS）；

（2）四边形BCGE是平行四边形．
理由如下：
∵△ABC和△DE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，
∵△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ACD=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴BE∥AC，
∵EG∥BC，
∴四边形BCGE为平行四边形；
成立，理由如下：
∵△ABC和△DE都是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠BAC-∠EAG=∠EAD-∠EAG，即∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定．