Question

如图：⊙O₁与⊙O₂外切于点P，O₁O₂的延长线交⊙O₂于点A，AB切⊙O₁于点B，交⊙O₂于点C，BE是⊙O₁的直径，过点B作BF_┴O₁P，垂足为F，延长BF交PE于点G．
（1）求证：PB²=PG•PE；
（2）若PF=

3

2

，tan∠A=

3

4

，求：O₁O₂的长．

Answer 1

分析：（1）可通过证三角形BPG和EPB相似来求证，这两个三角形中已知了一个公共角，根据等边对等角和等角的余角相等可得出另一组对应角相等，得出两三角形全等后即可得出本题所求的结论；
（2）本题的关键是让PF和tan∠A联系起来，∠A=∠EBG，那么可用圆O₁的半径和PF的长表示出OF和BF根据勾股定理来求出O₁B的长，也就求出了AB的长，然后根据∠A的正弦值即可求出O₁P+AP的长，也就求出了AP即圆O₂的半径的长，由此可得出O₁O₂的值．

解答：（1）证明：∵O₁P=O₁E，
∴∠E=∠O₁PE，
∵∠O₁PE+∠PGB=90°，∠PBG+∠PGB=90°，
∴∠PBG=∠O₁PG=∠E，
∵∠BPE=∠GPB，
∴△BPE∽△GPB，
∴

EP

BP

=

PB

PG

即：PB²=PG•PE；

（2）解：∵∠A+∠AO₁B=∠O₁BF+∠AO₁B=90°，
∴∠O₁BF=∠A，
∴tan∠O₁BF=

O1F

BF

=

3

4

，
∴O₁F=

3

4

BF，
设O₁B=x，O₁F=x-

3

2

，BF=

4

3

O₁F=

4

3

x-2，
在直角三角形O₁FB中，根据勾股定理有：
O₁F²+BF²=O₁B²，
（x-

3

2

）²+（

4

3

x-2）²=x²，
解得x₁=

15

4

，x₂=

15

16

，
x=

15

16

＜

3

2

，不合题意舍去．
因此O₁B=O₁P=

15

4

．
在直角三角形AO₁B中，sin∠BAO₁=

3

5

．
因此AO₁=

25

4

，
AP=AO₁-O₁P=

10

4

，因此圆O₂的半径为

5

4

，
因此O₁O₂=O₁P+O₂P=

20

4

=5．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质以及解直角三角形的应用等知识点．