题目内容
10．如图（1），在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，边AB与边CE交于F，边ED与边AB、BC分别交于M、H．
（1）求证：CF=CH；
（2）如图（2），△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当旋转角∠BCD=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
（3）当AC=$\sqrt{2}$时，在（2）的条件下，求四边形ACDM的面积．
分析 （1）根据同角的余角相等得出∠ACE=∠DCB，根据等腰直角三角形的性质得出∠A=∠D=45°，进而得出△ACB≌△ECD（ASA），根据全等三角形的性质，即可得出CF=CH；
（2）根据AC∥MD，CD∥AM，即可得出ACDM是平行四边形，再根据AC=CD，即可得到ACDM是菱形；
（3）根据四边形ACDM是菱形，得到CD=AC=$\sqrt{2}$，再根据∠D=45°，∠BCD=45°，即可得出△CDH是等腰直角三角形，进而得到AC边上的高CH=1，最后得出四边形ACDM的面积=1×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
解答 解：（1）如图1，在△ACB和△ECD中，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE+∠ECB=∠DCB+∠ECB，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠A=∠D=45°，
在△ACB和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{AC=CD}\\{∠ACF=∠DCH}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△ECD（ASA），
∴CF=CH；
（2）四边形ACDM是菱形．
证明：如图2，∠ACB=∠ECD=90°，∠BCD=45°，
∴∠ACE=∠ECB=45°，
又∵∠E=∠B=45°，
∴∠ACE=∠E，∠DCB=∠B，
∴AC∥MD，CD∥AM，
∴ACDM是平行四边形，
又∵AC=CD，
∴ACDM是菱形；
（3）如图2，∵四边形ACDM是菱形，
∴CD=AC=$\sqrt{2}$，
∵∠D=45°，∠BCD=45°，
∴∠CHD=90°，即△CDH是等腰直角三角形，
∴AC边上的高CH=1，
∴四边形ACDM的面积=1×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是掌握：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
如图，在△ABC中，AB=AC，点D是底边上异于BC中点的一个点，∠1=∠2，DE=AC．运用以上条件（不再添加其它线），可以得到下面哪些结论：| A． | 三角形的外角中至少有两个是钝角 | |
| B． | 直角三角形的两锐角互余 | |
| C． | 全等三角形的对应边相等 | |
| D． | 三角形三条边的垂直平分线一定交于三角形内一点 |
如图，一根电线杆在离地面12米高的点A各用15米长的铁丝向两侧地面拉线固定，求两个固定点之间的距离．| A． | 1，2，4 | B． | 4，4，9 | C． | 4，5，9 | D． | 4，6，8 |
| A． | ①②④ | B． | ②③④ | C． | ①② | D． | ①②③④ |
如图一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为F，若BE=6cm，则DE=（ ）| A． | $4\sqrt{2}$cm | B． | 6cm | C． | 8cm | D． | 10cm |