Question

8．已知：如图，点E是⊙O的直径，AB上一个动点（与A，B不重合），在AB下方有一条弦CD始终与AB保持平行，且AE=CD．连接AC，ED，延长ED交⊙O切线BF于点F，延长CD交BF于点M．请探究当点E在运动时：
（1）四边形ACDE能够成为菱形吗？写出你的猜想并给予证明．
（2）MB与MF数量关系是否发生变化？写出猜想并给予证明．

Answer 1

分析 （1）由条件可证明四边形ACDE为平行四边形，当E点运动到O点时，则有AE=ED，四边形ACDE为菱形；
（2）由条件可证明AC=BD=DE，再利用切线的性质可证得BD=DF，可证明D为EF的中点，则M为BF的中点，可得出结论．

解答 解：
（1）当点E运动到与点O重合时，四边形ACDE为菱形．
证明如下：
∵AE∥CD，且AE=CD，
∴四边形ACDE为平行四边形，
当点E与点O重合时，EA=ED，
∴四边形ACDE为菱形；
（2）不发生变化，证明如下：
如图，连接AD、BD，

∵AB∥CD，
∴∠ADC=∠DAB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴AC=BD，
在平行四边形ACDE中，ED=AC，
∴DE=BD，
∴∠DEB=∠DBE，
∵BF与⊙O相切，
∴∠EBF=90°，
∴∠DEB+∠F=∠DBE+∠DBF=90°，
∴∠DBF=∠F，
∴DB=DF，
∴DE=DF，
∵DM∥EB，
∴MB=MF．

点评 本题为圆的综合应用，涉及知识点有菱形的判定和性质、切线的性质及三角形中位线定理的逆定理等．在（1）中注意利用好圆的半径相等，在（2）中证得D是EF的中点是解题的关键．本题考查知识点相对基础，难度不大．