Question

7．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴分别交于点A（-3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），顶点为点D，对称轴DE交x轴于点E，连接AD，AC，DC．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）判断△ADC的形状，并说明理由．
（3）对称轴DE上是否存在点P，使点P到直线AD的距离与到x轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先确定出抛物线的顶点坐标，从而求出AD，AC，CD，用勾股定理的逆定理判断即可；
（3）先求出∠ADE的正弦值，再分点P在∠DAB的平分线和∠DAB的外角的平分线两种情况用PM=PE建立方程求解即可．

解答 解（1）∵点A（-3，0），C（0，3）在抛物线y=-x²+bx+c的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²-2x+3，
（2）由（1）得抛物线解析式为y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴抛物线的顶点D（-1，4），
∵C（0，3），A（-3，0），
∴AD=2$\sqrt{5}$，AC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴AD²=AC²+CD²，
∴△ADC是直角三角形；
（3）存在，
理由：∵抛物线解析式为y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴E（-1，0），
∵A（-3，0），D（-1，4），
∴AE=2，DE=4，AD=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
设P（-1，p），
∵点P到直线AD的距离与到x轴的距离相等
①当点P在∠DAB的角平分线时，
如图1，

过点P作PM⊥AD，
∴PM=PD×sin∠ADE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-p），PE=p，
∵PM=PE，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-p）=p，
∴p=$\sqrt{5}$-1，
∴P（-1，$\sqrt{5}$-1），
②当点P在∠DAB的外角的平分线时，
如图2，

过点P作PM⊥AD，
∴PM=PD×sin∠ADE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-p），PE=-p，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-p）=-p，
∴p=-$\sqrt{5}$-1，
∴P（-1，-$\sqrt{5}$-1），
综上所述，存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等，点P（-1，$\sqrt{5}$-1）或（-1，-$\sqrt{5}$-1）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，直角三角形的判定，三角函数，三角形的角平分线的性质，解本题的关键是求出∠ADE的正弦值．