Question

如图，点D是等腰直角三角形ABC的直角边BC上一点，AD的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F．且BC=1．
（1）若AD是边BC上的中线，求AE的值；
（2）若四边形AEDF是菱形，求CD的值．

Answer 1

考点：菱形的性质,线段垂直平分线的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等AE=DE，设AE=DE=x，再表示出CE，根据线段中点的定义表示出CD，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据菱形的对边平行可得DE∥AB，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠CDE=∠B=45°，从而判断出△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CD=CE，设CD=x，表示出AE，再根据菱形的四条边都相等可得DE=AE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，
设AE=DE=x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=1，
∴CE=AC-AE=1-x，
∵AD是边BC上的中线，
∴CD=

1

2

BC=

1

2

，
在Rt△CDE中，CE²+CD²=DE²，
即（1-x）²+（

1

2

）²=x²，
解得x=

5

8

，
即AE=

5

8

；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=1，∠B=45°，
∵四边形AEDF是菱形，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠B=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=CE，
设CD=x，则AE=1-x，
∵四边形AEDF是菱形，
∴DE=AE=1-x，
在Rt△CDE中，CE²+CD²=DE²，
即x²+x²=（1-x）²，
整理得，x²+2x-1=0，
解得x₁=

2

-1，x₂=-

2

-1（舍去），
∴CD的值是

2

-1．

点评：本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质并表示出△CDE的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．