Question

19．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．
①当MO⊥AC时，求BM的值；
②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质易证，OA=OC，AB∥CD，根据AB∥CD，得到∠EAO=∠FCO，满足ASA可证；
（2）①先证△MOC∽△ACB，得MC：AC=OC：BC，计算MC，即可求出BM；
②若△BMO是等腰三角形，则可能BM=OM，OB=BM，OB=OM，分类讨论即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\\{∠AEO=∠CFO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS）；                        
（2）①解：如图1，∵MO⊥AC，
∴∠MOC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠MOC=∠ABC，
又∵∠MCO=∠MCO，
∴△MOC∽△ACB，
∴MC：AC=OC：BC，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∴OC=2.5，
∴MC：5=2.5：4，
∴MC=$\frac{25}{8}$，
∴BM=$\frac{7}{8}$；
②如图2，△BMO是等腰三角形时，有三种情况：
（Ⅰ）OB=OM，此时M与C重合，BM=4；
（Ⅱ）OB=BM，BM=OB=$\frac{1}{2}$BD=2.5；
（Ⅲ）BM=OM，作MN⊥BD，
∴BN=$\frac{1}{2}$B0=$\frac{5}{4}$；
∵△BMN∽△BDC
∴$\frac{BN}{BC}=\frac{BM}{BD}$，
∴BM=$\frac{BN•BD}{BC}$=$\frac{\frac{5}{4}×5}{4}$=$\frac{25}{16}$，
∴BM=2.5或4或$\frac{25}{16}$．

点评 本题主要考查了三角形全等的判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，第3小题考查学生思维的全面性，恰当分类讨论是解决问题的关键．