Question

如图，已知AB=3，BC=7，CD=5

2

．且AB⊥BC，∠BCD=135°．点M是线段BC上的一个动点，连接AM、DM．点M在运动过程中，
①当AM+DM的值最小时，BM=

9

2

；
②当AM²+DM²的值最小时，BM=

6

．

Answer 1

分析：（1）延长AB到E，使BE=AB，连接ED交BC于M，连接AM，则此时AM+DM的值最小，过D作DF⊥BC交BC延长线于F，求出DF，根据相似求出BM即可；
（2）根据勾股定理得出AM²=AB²+BM²=3²+x²，DM²=DF²+FM²=5²+（5+7-x）²，相加即可求出答案．

解答：解：（1）延长AB到E，使BE=AB，连接ED交BC于M，连接AM，则此时AM+DM的值最小，过D作DF⊥BC交BC延长线于F，
∵∠BCD=135°，
∴∠DCF=45°，
∵CD=5

2

，
则CF=CD×cos45°=5，
DF=CF=5，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴△BEM∽△FDM，
∴

BE

DF

=

BM

MF

．
∴

BM

5+7-BM

=

3

5

，
∴BM=

9

2

，

（2）设BM=x，
在Rt△ABM中，AM²=AB²+BM²=3²+x²，
∵在Rt△DFM中，DM²=DF²+FM²=5²+（5+7-x）²，
∴AM²+DM²
=9+x²+25+（12-x）²
=2x²-24x+178
=2（x-6）²+106，
∵2＞0，
∴AM²+DM²有最小值，当x=6时，最小值是106，
故答案为：

9

2

；6．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，关键是找出符合条件的点，题目比较好．