Question

20．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，点D是边BC上的一个动点（不运动至点B，C），点E在BC所在直线上，连结AD，AE，且∠DAE=45°
（1）若点E是线段BC上一点，如图1，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，CF，DF，EF
①求证：△ABD≌△ACF；
②若BD=1，DE=2，求CE的长；
（2）如图2，若BD=$\frac{8}{5}$，AB=$\sqrt{2}$，求CE的长．（直接写出答案即可）

Answer 1

分析 （1）①根据轴对称的性质，得到AD=AF，∠DAE=∠FAE=45°，再根据同角的余角相等，得到∠BAD=∠FAC，即可判定△ABD≌△ACF（SAS）；
②由①可得：△ABD≌△ACF，据此得出∠B=∠ACF=45°，BD=CF=1，进而得到∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，再根据DE=EF=2，运用勾股定理求得CE即可；
（2）分两种情况进行讨论：当点E在BC延长线上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，CF，EF；当点E在线段BC上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，BF，EF．分别根据全等三角形的性质以及勾股定理，求得CE的长即可．

解答 解：（1）①∵点D与点F关于直线AE的对称，
∴AE垂直平分DF，
∴AD=AF，
∴∠DAE=∠FAE=45°，
即∠DAF=90°，
∴∠DAC+∠FAC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠FAC，
在△ABD与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS）；

②由①可得：△ABD≌△ACF，
∴∠B=∠ACF=45°，BD=CF=1，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，
∵AE垂直平分DF，
∴DE=EF=2，
∴CE=$\sqrt{E{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$；

（2）CE=3或$\frac{5}{4}$．
理由：如图所示，当点E在BC延长线上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，CF，EF，
根据△ABD≌△ACF，可得BD=CF=$\frac{8}{5}$，
在等腰直角三角形ABC中，AB=$\sqrt{2}$，
∴BC=2，
∴CD=$\frac{2}{5}$，
∴DE=CE+$\frac{2}{5}$=EF，
在Rt△CEF中，CE²+（$\frac{8}{5}$）²=（CE+$\frac{2}{5}$）²，
解得CE=3；

如图所示，当点E在线段BC上时，作点D关于直线AE的对称点F，连结AF，BF，EF，
根据△ABF≌△ACD，可得BF=CD=$\frac{2}{5}$，
∴DE=CE-$\frac{2}{5}$=EF，
又∵BE=BC-CE=2-CE，
∴在Rt△BEF中，（$\frac{2}{5}$）²+（2-CE）²=（CE-$\frac{2}{5}$）²，
解得CE=$\frac{5}{4}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质以判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及对称轴的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法，解题时注意分类思想的运用．