Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且CO=2AO，CO=BO，AB=3，则下列判断中正确的是（　　）

A．此抛物线的解析式为y=x²+x﹣2

B．当x＞0时，y随着x的增大而增大

C．在此抛物线上的某点M，使△MAB的面积等于5，这样的点共有三个

D．此抛物线与直线y=﹣只有一个交点

　

Answer 1

D【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】先确定A、B点的坐标，则可利用交点式求出抛物线解析式，于是可对A选项进行判断；根据二次函数的性质对B选项进行判断；设M（t，t²﹣t﹣2），根据三角形面积公式得到×3×|t²﹣t﹣2|=5，再把方程化为t²﹣t﹣2=或t²﹣t﹣2=﹣，然后通过解两个方程确定t的值，从而可对C选项进行判断；通过解方程x²﹣x﹣2=﹣可对D选项进行判断．

【解答】解：∵CO=2AO，CO=BO，AB=3，

∴OA=1，OB=2，

∴A（﹣1.0），B（2，0），

∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x²﹣x﹣2，所以A选项错误；

∵抛物线的对称轴为直线x=，

∴当x＞时，y随着x的增大而增大，所以B选项错误；

设M（t，t²﹣t﹣2），

当△MAB的面积等于5，则×3×|t²﹣t﹣2|=5，

∴t²﹣t﹣2=或t²﹣t﹣2=﹣，

∵方程t²﹣t﹣2=有两个不等实数解，而方程或t²﹣t﹣2=﹣没有实数解，

∴满足条件的M点有2个，所以C选项错误；

当y=﹣时，x²﹣x﹣2=﹣，解得x₁=x₂=

∴抛物线与直线y=﹣只有一个交点，所以D选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根的判别式和根与系数的关系．对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．